網絡日志:關於圓的定義

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昨天,我讀到一篇文章,很贊同它的觀點。

科學認識形成於直觀的想法,但是最終要用抽象的公式來表達。

Conception is about ideas, but formulas are the way to express them.

作者舉了一個圓的例子,來說明這一點。

圓形可能是人類最先認識的形狀。我們從直觀的體驗,就可以馬上說出,什麼是圓的。比如,蘋果是圓的,輪子是圓的,太陽是圓的,等等。

但是,如果要從學術的角度,嚴密地定義圓,就不是那麼簡單了。原作者舉出了5種定義,可以看到,隨著定義越來越嚴密,圓形的概念也變得越來越抽象。

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定義一:圓是最對稱的2維平面圖形。

通過中心的任意一條直線,都可以將圓形分成完全相等的二部分。

關於圓的定義01

定義二:在相同周長的情況下,面積最大的圖形就是圓。

或者說,在相同面積的情況下,周長最短的圖形就是圓。

有一道常見的面試題,問的是”為什麼下水道的蓋子是圓的?”理由有兩個,一是給定窨井蓋的周長,圓形的製造材料是最少的;二是圓的直徑都相等,因此不會掉進下水道。

關於圓的定義02

定義三:任意一條切線,都垂直於”切點的位置向量”的圖像就是圓。

說實話,這一條好像更像圓的性質,而不像定義。

關於圓的定義03

定義四:滿足公式x²+y²=r²(r為大於0的已知實數)的所有點(x,y)的集合就是圓。

這種定義就是”到定點距離等於定長”的解析幾何版本。

關於圓的定義04

定義五:滿足x=r*sin(t)、y=r*cos(t)的所有點(x,y)的集合就是圓。(r為大於0的已知實數,t為任意實數。)

這種定義給出了圓的參數方程形式。

關於圓的定義05

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定義一隻是在描述一種形狀,到了定義五,就變成在描述一種純數學關係。越是後面的定義,就越嚴密和越抽象。這正好同人類對圓的認識歷史相一致。

馬克思說過:”一種科學只有在成功地運用數學時,才算達到了真正完善的地步。”只有當人類可以用方程來描述圓時,人類對圓的認識才真正地完善。

在我看來,這是科學發展的一般規律,即任何一種科學發展到成熟階段,它的邏輯結構必定可以用數學表達出來。即使學科本身的內容無法用數學表達,但是至少內容與內容之間的邏輯關係是可以用數學表達的。也就是說,如果一門學科是真正的科學,那麼這門學科的結構一定可以被數學化。

上面所說的”科學”,不僅指自然科學,也包括社會科學。為什麼經濟學、法學、政治學還不能被說成是真正的科學?一個原因就在於,這些學科本身的邏輯結構還不能用數學表達出來。

(完)

2009年1月13日

阮一峰的网络日志

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